معمای المپیادی

8 بار می توانیم این مسیر را طی کنیم. 

اگر ستونی هر سه دایره‌اش پر باشد در این صورت واضح است که از هر کدام از چهار ستون دیگر فقط یکی از دایره‌هایشان می‌تواند پر باشد زیرا در غیر این صورت مربع یا مستطیل با چهار راس پر پیدا خواهد شد. دراین صورت 4×2 دایره سفید موجود خواهد بود که معلوم می‌شود ۷ دایره‌ی پر وجود دارد.
و اما اگر هیچ ستونی هر سه دایره‌اش پر نباشد در این صورت یکی از ستون‌ها (مثلا اول) که دو دایره‌اش پر می‌‌باشد را در نظر می‌گیریم. به عنوان مثال فرض می‌کنیم دو سطر اول ستون اول پر باشند بدیهی است که در چهار ستون دیگر دو سطر اول و دوم تواما نباید پر باشند و همچنین از ۴ دایره‌ی مربوط به سطر آخر چهار ستون پایانی حداکثر ۲ دایره می‌تواند پر باشد. پس کل دایره‌های پر 2+4+2 یعنی ۸ دایره می‌تواند باشد که نمونه‌ای از آن در شکل زیر قابل مشاهده است.

این دزد بر اساس آنچه در جدول آمده است، 5 بار از شهر شکرستان خارج شده و 6 بار به این شهر برگشته است. پس او در شهر شکرستان است. 

بر اساس آنچه در شکل آمده است، حداکثر ۴ لیتر آب به نقطه‌ی ج می‌رسد. پس از لوله‌ی ب-ج که ظرفیت آن ۹ لیتر است حداکثر ۴ لیتر در ثانیه آب به مصرف‌ کننده ب سرازیر می‌شود.
از لوله‌ی ب-د نیز که حداکثر ظرفیت آن ۳ لیتر است اگر ۳ لیتر در ثانیه آب به مصرف‌کننده ب برسد حداکثر آبی که به مصرف‌ کننده خواهد رسید ۷ لیتر در ثانیه می‌باشد.

ارتفاع آب در طول زمان همواره صعودی است.
 شیب نمودار در هر لحظه تابعی نزولی از مساحت هر قطاع ظرف است.
پس ابتدا باید شیب زیاد باشد و به مرور زمان کم شود تا به قسمتی از خمره برسد که بیشترین مساحت را دارد و سپس دوباره شیب افزایش پیدا می کند.
پاسخ صحیح گزینه (ب) می باشد. 

۲۹ مثلث.
به ازای انتخاب هر سه نقطه، یک مثلث پدید می آید، مگر آنکه آن سه نقطه در یک امتداد باشند.

به 84 طریق ممکن است. 
فرض کنیم ناحیه های مشخص شده با اعداد 1،2،3 در شکل فوق به ترتیب دارای رنگ های x،y،z باشند. توجه کنید که تمامی رنگ های x، y، z نمی توانند متمایز باشند زیرا در غیر این صورت ناحیه مرکزی را با هیچ رنگی نمیتوان رنگ کرد. اکنون دو حالت را بررسی می کنیم:
حالت اول: x،y،z همرنگ باشند. در این حالت رنگ مشترک را می توان به 3 حالت انتخاب کرد. همچنین هر یک از دیگر نواحی را می توان به دو صورت رنگ آمیزی کرد. پس در این حالت، تعداد رنگ آمیزی ها برابر 48 خواهد بود: 3x2x2x2x2=48
حالت دوم: در میان x،y،z از یک رنگ دوبار و از یک رنگ یک بار استفاده شده باشد. برای انتخاب ناحیه ی با رنگ متمایز 3، برای انتخاب رنگ این ناحیه، 3 و برای انتخاب رنگ دیگر، 2 انتخاب داریم. پس برای مشخص نمودن رنگ ناحیه ی 1،2،3 در این حالت 3x3x2=18 روش متمایز داریم. حال توجه کنید که رنگ مرکزی به صورت یکتا، مشخص می شود چرا که از دو رنگ متمایز، همسایه دارد.
همچنین دو تا از نواحی گوشه ای نیز با هر دو رنگ مجاور هستند و رنگ این نواحی نیز بصورت یکتا مشخص می گردد. تنها ناحیه نامشخص ناحیه گوشه ای است که با دو ناحیه همرنگ مجاور است و در نتیجه می توان آن را به دو شیوه رنگ آمیزی کرد. پس در این حالت، طبق اصل ضرب، تعداد شیوه های رنگ آمیزی برابر 18x2=36 است.
پس طبق اصل جمع، تعداد راه های رنگ آمیزی شکل برابر 84=36+48 است.

هر جدول ۴×۴ به وضوح حداقل ۴ خانه ی سياه نياز دارد تا هيچ ۴ خانه ی متوالی سفيدی در آن يافت نشود .
شکل سمت چپ در بالا يک مثال برای ۴ خانه ی سياه است. همچنين هر سطر يا ستون ۹ تايی برای اين که ۴ خانه ی متوالی سفيد در آن يافت نشود، حداقل ۲ خانه ی سياه نياز دارد و چون جدول ۹×۹ را میتوان به ۴ جدول ۴×۴ و دو رديف ۹ تايی مانند شکل ارنگ کرد. 
پس حداقل ۲۰=۲×۲+۴×۴ خانه ی سياه نياز است تا هيچ ۴ خانه ی سفيد متوالی يافت نشود.
بر اساس شکل زیر:
۲۰ خانه ی سياه برای رسيدن به آنچه گفته شد، کفایت می کند. بنابراين با حداکثر ۱۹ خانه ی سياه نمی توان اين کار را کرد و حتماً ۴ خانه ی متوالی سفيد يافت خواهد شد.

شکل باید بدین صورت باشد: